Question

已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=

4 5

5

，求m的值．
（3）在（2）条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．当5-m＞0表示圆，解出即可．
（2）利用点到直线的距离可得：圆心（1，2）到直线l的距离d，利用(

|MN|

2

)2+d2=r2．即可解得m．
（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=

|c-3|

5

，假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，必须满足1-

|c-3|

5

＞

5

5

，解出即可．

解答：解：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．
当5-m＞0即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆心（1，2）到直线l的距离d=

|1+4-4|

5

=

1

5

，
∵弦长|MN|=

4 5

5

，∴(

|MN|

2

)2+d2=r2．∴(

2 5

5

)2+(

1

5

)2=5-m，解得m=4．
故m=4．
（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=

|1-4+c|

5

=

|c-3|

5

，
假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，
必须1-

|c-3|

5

＞

5

5

，化为|c-3|＜

5

-1，∴1-

5

＜c-3＜

5

-1，
解得4-

5

＜c＜2+

5

．
因此存在c∈(4-

5

，2+

5

)，满足条件．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、弦长公式、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．