题目内容

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， $数学公式$ AB=AC=1，AA₁=2，点O是B₁C与BC₁的交点．
（1）基向量 $数学公式$ 表示向量 $数学公式$ ；
（2）求异面直线AO与BC所成的角；
（3）判定平面ABC与平面B₁BCC₁．

解：设 $\text{[math]}$
（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）由题意，可求得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴异面直线AO与BC所成的角为 $\text{[math]}$
（3）取BC的中点E，连接AE，则 $\text{[math]}$
∵AB=AC，∴AE⊥BC，且 $\text{[math]}$ ，
∴AE⊥BB₁
∴AE⊥平面BB₁C₁C，AE?平面ABC，
∴平面ABC与平面B₁BCC₁．
分析：设 $\text{[math]}$
（1）直接表示向量 $\text{[math]}$ 即可；
（2）求出 $\text{[math]}$ ，利用它们的数量积，求异面直线AO与BC所成的角；
（3）取BC的中点E，连接AE，推出AE⊥BC，通过 $\text{[math]}$ 得到AE⊥BB₁，证明AE⊥平面BB₁C₁C，即可得到平面ABC与平面B₁BCC₁．
点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，空间向量的夹角与距离求解公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．

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