Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)半焦距为c，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，若抛物线y²=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为

2 2

3

be2(e为双曲线C的离心率），则e的值为（　　）

• A、

  6

  2

  或

  3

• B、

  3

• C、

  3

  2

  或3
• D、

  6

  2

Answer 1

分析：抛物线y²=4cx的准线正好经过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为

b2

a

，
由

b2

a

=

2 2

3

be2，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．

解答：解：∵抛物线y²=4cx的准线：x=-c，
它正好经过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，
∴准线被双曲线C截得的弦长为：2

b2

a

，
∴2

b2

a

=

2 2

3

be2，
即：

2

c²=3ab，又c=

a2-b2

∴解得：e=

c

a

的值为：

6

2

或

3

，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，
∴e=

3

．
故选B．

点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意双曲线与椭圆的区别．