Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）

【解析】解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．   

∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，

∴ ．    所求椭圆方程为．                       ……………4分

（Ⅱ）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．

由   可得．

∴．

     ．其中

以为邻边的平行四边形是菱形

．

 ∴．                                                   ………………………12分