Question

设函数f(x)＝(1＋x)²－2ln(1＋x)

(1)若关于x的不等式f(x)－m≥0在[0，e－1]有实数解，求实数m的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)－x²－1，若关于x的方程g(x)＝p至少有一个解，求p的最小值．

(3)证明不等式：ln(x＋1)＜1＋＋＋…＋(n∈N^*)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意得 　　，而函数的定义域为 　　∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数 　　 　　即实数m的取值范围为 　　(2) 　　则 　　显然，函数在上为减函数，在上为增函数 　　则函数的最小值为 　　所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0 　　(3)由(2)可知：在上恒成立 　　所以，当且仅当x＝0时等号成立 　　令，则代入上面不等式得： 　　即，即 　　所以，，，，…， 　　将以上n个等式相加即可得到：