Question

设f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[2，3]时，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)³，

(Ⅰ)求f(x)的表达式；

(Ⅱ)是否存在正实数a，使得f(x)的图象的最高点在直线y＝12上？若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

热点分析　　因为[2，3]关于x＝1对称的区间是[－1，0]，所以应先求出f(x)在区间[－1，0]内的解析式；而问题(Ⅱ)等价于[f(x)]max＝12． 　　解答(Ⅰ)当x∈[－1，0]时，f(x)上的点P(x，y)与g(x)上的点Q(x0，y0)关于直线x＝1对称， 　　代入g(x)得 　　f(x)＝4x3－2ax(x∈[－1，0])． 　　∵f(x)是[－1，1]上的偶函数，∴当x∈[0，1]时， 　　f(x)＝f(－x)＝4(－x)3－2a(－x)＝－4x3＋2ax； 　　(Ⅱ)命题条件等价于[f(x)]max＝12，因为f(x)为偶函数，所以只需考虑x∈[0，1]的情况． 　　对f(x)求导得(x)＝2(a－6x2)(x∈[0，1]． 　　①当a≤0时，(x)＜0，∴f(x)在[0，1]单调递减． 　　∴[f(x)]max＝f(0)＝12．无解 　　②当a＞0时，(x)＝12(－x)(＋x) 　　＝0x＝， 　　(i)当0＜≤1，即0＜a≤6时， 　　x＝是定义域内惟一的极大点， 　　∴[f(x)]max＝f()＝12x＝3＞6， 　　不合题意； 　　(ii)当＞1，即a＞6时， 　　(x)＞0，f(x)在[0，1]上递增， 　　∴[f(x)]max＝f(1)＝12a＝8． 　　综上，存在a＝8使得f(x)的图象的最高点在直线y＝12上． 　　评析　　综合了函数解析式的变换，函数性质及最热点的函数最值内容，这是常见的函数综合问题形式，在求最值时由于用求导的方法十分简单，因此没有必要考虑初等方法．