Question

20．若函数f（x）=1+log₂x，x∈[1，4]，则函数g（x）=f²（x）+f（x²）的最大值是（　　）

• A． 11
• B． 9
• C． 7
• D． 5

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行化简，利用换元法，结合一元二次函数的最值性质进行求解即可．

解答 解：∵g（x）=f²（x）+f（x²）
∴由$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤x≤2或-2≤x≤-1}\end{array}\right.$，
解得1≤x≤2，
则g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+log₂x²=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
设t=log₂x，则0≤t≤1，
即函数等价为y=（1+t）²+1+2t=t²+4t+2=（t+2）²-2，
∵0≤t≤1，
∴当t=1时，函数取得最大值y=1+4+2=7，
故选：C

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合对数的运算法则是解决本题的关键注意要根据复合函数定义域之间的关系先求函数的定义域，否则容易出错．