Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（），又数列{a_n}满足：a₁=，a_n+1=．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（a_n）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（a_n）且数列{a_n}满足b_n=，若对于任意n∈N⁺，都有b₁+b₂恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用赋值法，结合奇函数的定义，可得结论；
（II）利用递推式，确定{f（a_n）}是首项为-1，公比为2的等比数列，即可求得f（a_n）关于n的函数解析式；
（III）求出数列的和，进而利用求最值的方法，解决恒成立问题．
解答：（I）证明：令x=y=0，可得f（0）=0
令x=0，则f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∵y∈（-1，1），∴f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）解：由f（x）-f（y）=f（），将y换为-y，可得f（x）-f（-y）=f（），
∵f（-y）=-f（y），∴f（x）+f（y）=f（），
∴f（a_n+1）=f（）=f（）=f（a_n）+f（a_n）=2f（a_n）
∴=2
∵f（a₁）=f（）=-1
∴{f（a_n）}是首项为-1，公比为2的等比数列
∴f（a_n）=-2^n-1；
（III）解：∵b_n=，∴b_n=-2^1-n，
∴b₁+b₂+…+b_n=-（1++…+）=
∵b₁+b₂恒成立，
∴恒成立，
即恒成立，
∵
∴t²-3t+2＞1
∴t²-3t+1＞0
∴或．
点评：本题函数的奇偶性，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，正确确定函数的解析式是关键．