Question

已知函数f(x)=

5

5x+ 5

，m为正整数．
（Ⅰ）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

n

m

)（n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：b1=

1

2

，b_n+1=b_n²+b_n，设Tn=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于3的正整数n，4Sm＜777Tn+

5

恒成立，试求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数值的求法令x=1，x=0直接求解f（1）+f（0）；先求得f（1-x）再求解f（x）+f（1-x）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=1(1≤k≤m-1)，
即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=1，从而有a_k+a_m-k=1，然后由倒序相加法求解．
（Ⅲ）将b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），取倒数转化为：

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，从而有

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

．
然后用错位相消法求得Tn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

．
再由s_m构造4Sm＜777Tn+

5

恒成立，用最值法求解．

解答：解：（Ⅰ）f(1)+f(0)=

5

5+ 5

+

5

1+ 5

=1；
f（x）+f（1-x）=

5

5x+ 5

+

5

51-x+ 5

=

5

5x+ 5

+

5 •5x

5+ 5 •5x

=1；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=1(1≤k≤m-1)，即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=1，∴a_k+a_m-k=1，
由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，②
由①+②，得2S_m=（m-1）×1+2a_m，
∴Sm=(m-1)×

1

2

+f(1)=(m-1)×

1

2

+

5- 5

4

，（10分）

（Ⅲ）∵b1=

1

2

，b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），∴对任意的n∈N*，b_n＞0．
∴

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，即

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

．
∴Tn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

．
∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n，∴数列{b_n}是单调递增数列．
∴T_n关于n递增．当n≥3，且n∈N₊时，T_n≥T₃．
∵b1=

1

2

，b2=

1

2

(

1

2

+1)=

3

4

，b3=

3

4

(

3

4

+1)=

21

16

，b4=

21

16

(

21

16

+1)=

777

256

∴Tn≥T3=2-

1

b4

=2-

256

777

．
∴4Sm＜777T3+

5

，∴m＜650.5．而m为正整数，
∴m的最大值为650．（14分）

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数求值及规律，数列的通项，前n项和及倒序相加法，裂项相消法求和等问题，属于难题．