Question

（Ⅰ）求以点F₁（-2，0），F₂（2，0）分别为左右焦点，且经过点P(3，-2

6

)的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求与双曲线

y2

4

-

x2

12

=1有相同渐近线，且经过点P(

6

，1)的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程，利用点F₁（-2，0），F₂（2，0）分别为左右焦点，且经过点P(3，-2

6

)，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设双曲线方程为

y2

4

-

x2

12

=λ，代入P的坐标，即可得到双曲线的标准方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则

a2-b2=4 9 a2 + 24 b2 =1

∴a²=36，b²=32
∴椭圆方程为

x2

36

+

y2

32

=1；
（Ⅱ）设双曲线方程为

y2

4

-

x2

12

=λ
将点P(

6

，1)代入双曲线方程，可得

1

4

-

6

12

=λ
∴λ=-

1

4

∴双曲线方程为

y2

4

-

x2

12

=-

1

4

，即

x2

3

-y2=1．

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查待定系数法的运用，属于中档题．