Question

（Ⅰ）求以点F₁（-2，0），F₂（2，0）分别为左右焦点，且经过点P（3，-2

6

）的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为

2

，且经过点P（4，-

10

）的双曲线的方程．

Answer 1

分析：（I）由椭圆的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）可得椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），将点P（3，-2

6

）的坐标代入，可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由于焦点坐标可能以x轴上，也可能在y轴上，故应分为两种情况，结合双曲线的离心率为

2

，且经过点P（4，-

10

）构造方程，解方程可得双曲线的方程．

解答：解：（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）
且经过点P（3，-2

6

）
故

9  a2 + 24 b2 =1 a2=b2+4

解得a²=36，b²=32
故椭圆的标准方程为

x2

36

+

y2

32

=1
（II）∵双曲线的离心率为

2

，
故双曲线为等轴双曲线，即a=b
若焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1
将点P（4，-

10

）代入得a²=6
故双曲线的标准方程为

x2

6

-

y2

6

=1
若焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

a2

=1
将点P（4，-

10

）代入得a²=-6（舍去）
综上双曲线的标准方程为

x2

6

-

y2

6

=1

点评：本题是中档题，考查椭圆方程和双曲线方程的求法，熟练掌握待定系数法求圆锥曲线标准方程的方法过程是解答的关键．