Question

已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[

1

2

，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据特殊函数y=+x

1

x

的单调性得到所求函数在[1，2]上的增减性，即可求出其值域；
（Ⅱ）先求出其导函数，讨论a和0的大小关系，找到导函数值为正和为负对应的区间，即可得到其单调性；
（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为f(

1

4

)与f（1）的较大者，问题转化为f（x）在[

1

4

，1]上的最大值小于等于10恒成立；让f(

1

4

)与f（1）都小于等于10即可求出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=x+

1

x

+1
根据特殊函数y=+x

1

x

的单调性得：函数在[

1

2

，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（

1

2

）=f（2）=

7

2

所以：f（x）∈[3，

7

2

]，
（Ⅱ）解：f′(x)=1-

a

x2

．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±

a

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(-∞，- a )	- a	(- a ，0)	(0， a )	a	( a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)内是增函数，在(-

a

，0)，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为f(

1

4

)与f（1）的较大者，
对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，
当且仅当

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，对任意的a∈[

1

2

，2]成立．
从而得b≤

7

4

，所以满足条件的b的取值范围是(-∞，

7

4

]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题．考查计算能力和分析问题的能力以及分类讨论思想的应用．