Question

已知抛物线D的顶点是椭圆+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点，坐标原点O为PQ中点，求证：∠AQP=∠BQP；
（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出抛物线D的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），由，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能够证明∠AQP=∠BQp．
（3）设存在直线m+x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此能够导出存在直线m：x=3满足题意．
解答：（本小题满分14分）
（1）解：由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2．
∴抛物线D的方程为y²=4x．…（4分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP=∠BQP，
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），
由，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴，
∵=，
=，
∴=，
∴∠AQP=∠BQP．
综上证知，∠AQP=∠BQP
（3）解：设存在直线m+x=a满足题意，
则圆心，
过M作直线x=a的垂线，垂足为E，
∴|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²
=
=
=
=，
当a=3时，|EG|²=3，
此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值．…（13分）
因此存在直线m：x=3满足题意…（14分）
点评：本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．