Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[-2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）本题是据题意求参数的题，题目中x=-1时有极大值2，且f′（1）=0，函数图象过原点，可转化出4个等式，利用其建立方程求解即可得函数y=f（x）的解析式．
（2）对任意的x∈[-2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，可知当x∈[-2，4]时恒有f（x）≥f′（x）+6x+m，将问题转化为m≤f（x）-f′（x）-6x恒成立，再利用常数分离法进行求解．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
∵x=-1时有极大值2，∴f′（-1）=3a-2b+c=0     ①
又f（0）=d=0     ②
f′（1）=3a+2b+c=0      ③
f（-1）=-a+b-c=2      ④
①②③④联立得  a=1，b=0，c=-3，d=0．
故函数f（x）=x³-3x²．
（2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m，
∴m≤f（x）-f′（x）-6x，令g（x）=f（x）-f′（x）-6x=x³-3x²-9x+3，∴g′（x）=3x²-6x-9，
令g′（x）=0，得x=-1或x=3，
∴g（x）在[-2，-1]内单调递增，在[-1，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，
∴g（x）_min=g（3）=-24；
∴m≤-24，即m_max=-24．

点评：本小题考点是导数的运用，考查导数与极值的关系，本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参数---求函数的表达式．