Question

已知函数f（x）=cos（+x）cos（），g（x）=sin2x-．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和与差的余弦公式将f（x）展开，化简得f（x）=cos²x-sin²x，再根据二倍角的余弦公式化简整理，即可得到f（x）=cos2x-，结合三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据（1）中化简的结果，得h（x）=f（x）-g（x）=sin2x-cos2x，利用辅助角公式合并得h（x）=sin（2x-），再由三角函数的图象与性质，即可得到使h（x）取得最大值的x的集合．
解答：解：（1）f（x）=cos（+x）cos（）
=（coscosx-sinsinx）（coscosx+sinsinx）
=cos²cos²x-sin²sin²x=cos²x-sin²x，
∵cos²x=，sin²x=
∴f（x）=×-×=cos2x-
因此，函数f（x）的最小正周期T==π；
（2）由（1）得f（x）=cos2x-，
∴h（x）=f（x）-g（x）=cos2x--（sin2x-）=sin2x-cos2x
∵sin2x-cos2x=sin（2x-）
∴当2x-=+2kπ，即x=+kπ（k∈Z）时，sin2x-cos2x取得最大值为
由此可得使h（x）取得最大值的x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期并求当函数取得最大值时x的集合．着重考查了三角函数的图象与性质和三角恒等变换公式等知识，属于中档题．