Question

在正项等比数列{a_n}中，a₁=4，a₃=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）记b_n=log₄a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）记y=-λ²+4λ-m，对于（2）中的S_n，不等式y≤S_n对一切正整数n及任意实数λ恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a₁=4，a₃=64可求公比，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；
（2）由于b_n=log₄a_n=n，所以数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=1的等差数列，故可求和；
（3）先求得S_n取得最小值S_min=1，要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤S_n恒成立，即-λ²+4λ-m≤1，分离参数得m≥-λ²+4λ-1恒成立，故可求参数的范围．

解答：解：（1）∵q2=

a3

a1

=16，解得q=4或q=-4（舍去）∴q=4…（2分）∴a_n=a₁q^n-1=4×4^n-1=4ⁿ…（3分）  （q=-4没有舍去的得2分）
（2）∵b_n=log₄a_n=n，…（5分）∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=1的等差数列∴Sn=

n(n+1)

2

…（7分）
（3）由（2）知，Sn=

n2+n

2

，
当n=1时，S_n取得最小值S_min=1…（8分）
要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤S_n恒成立，即-λ²+4λ-m≤1
即对任意实数λ，m≥-λ²+4λ-1恒成立，∵-λ²+4λ-1=-（λ-2）²+3≤3，
所以m≥3，
故m得取值范围是[3，+∞）．…（10分）

点评：本题主要考查等比数列的通项，等差数列的前n和，同时考查等价转化的数学思想，属于中档题