Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

取得最大值2，方程f（x）=0的两个根为x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值为π．
（1）求f（x）；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

（1）由题意A=2，函数f（x）最小正周期为2π，即

2π

ω

=2π，∴ω=1．
从而f（x）=2sin（x+φ），
∵f（

π

6

）=2，
∴sin（

π

6

+φ）=1，则

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，即φ=

π

3

+2kπ，k∈z
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
故f（x）=2sin（x+

π

3

）．
（2）函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=f（2x）的图象，
即g（x）=2sin（2x+

π

3

），
当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
故函数g（x）的值域是[-1，2]．