Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）证明函数f（x）在R上是减函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函数的性质可得f（0）=0，解方程可求得b，注意检验；
（Ⅱ）利用减函数的定义可证明；

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是奇函数，
∴f(0)=

1-b

4

=0?b=1（经检验符合题设）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=-

2x-1

2(2x+1)

．
对?x₁，x₂∈R，当x₁＜x₂时，总有2x2- 2x1＞0，  (2x1+1)(2x2+1)＞0．
∴f(x1)-f(x2)=-

1

2

•(

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

)=

1

2

•

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是减函数．

点评：本题考查奇函数的性质及单调性的证明，属基础题，证明单调性的常用方法：一是定义法，二是导数法．