Question

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上为减函数，且f（4）=0，则使得xf（x）＜0的x的取值范围是

0＜x＜4或x＜-4

．

Answer 1

分析：根据f（x）在（-∞，0]上的单调性、奇偶性可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再f（x）图象上的特殊点可作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．

解答：解：∵f（x）在（-∞，0]上为减函数，且f（x）为偶函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又f（4）=0，∴f（-4）=f（4）=0，
作出f（x）的草图如图所示：
由图可得，xf（x）＜0?

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

?0＜x＜4或x＜-4，
∴使得xf（x）＜0的x的取值范围是：0＜x＜4或x＜-4，
故答案为：0＜x＜4或x＜-4．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属基础题．