Question

8．如图AB是半圆的直径，C是圆上一点，CH⊥AB于点H，CD是圆的切线，F是AC上一点，DF=DC，延长DF交AB于E．
（Ⅰ）求证：DE∥CH；
（Ⅱ）求证：AD²-DF²=AE•AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BC，证明△ACH∽△ABC，∠ACH=∠DFC，可得DE∥CH；
（Ⅱ）设AD与半圆交于点M，连结BM，证明△AED∽△AMB，可得AE•AB=DA•AM，即可证明AD²-DF²=AE•AB．

解答 证明：（Ⅰ）连结BC，
∵CD是圆的切线，AC是弦，
∴∠DCF=∠CBA
∵DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠DFC=∠CBA，
又∵CH⊥AB，∠ACB=90°，∴△ACH∽△ABC，
∴∠ACH=∠CBA，∴∠ACH=∠DFC，∴DE∥CH；…（5分）
（Ⅱ）设AD与半圆交于点M，连结BM，
∵CD是圆的切线，∴DC²=DA•DM，
又∵DE⊥AB，∠AMB=90°，∴△AED∽△AMB，
∴$\frac{AE}{DA}=\frac{AM}{AB}$，∴AE•AB=DA•AM，
∴DA²-DF²=DA²-DC²=DA²-DA•DM=DA•（DA-DM）=DA•AM=AE•AB．…（10分）

点评 本题考查与圆相关的比例线段，考查学生分析解决问题的能力．实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．