Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

．
（1）判断数列{

1

an

}是否为等差数列，并说明理由；
（2）证明：（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1．

Answer 1

分析：（1）根据

an+1

an

=

bn

1- a n 2

，把a_n+b_n=1代入整理得

1

an+1

=

1

an

+1，进而根据等差数列的定义判断出数列{

1

an

}为等差数列．
（2）根据a_n+b_n=1，a₁=

1

2

求得a₁和b₁．进而根据（1）中

1

an

求得a_n，进而求得b_n，进而可知要证不等式（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1，即(1+

1

n+1

)n+1•(

n

n+1

)n＞1，令f(x)=

lnx

x-1

(x＞1)，对函数f（x）进行求导，再令g(x)=

x-1

x

-lnx，对函数g（x）进行求导，进而利用导函数判断f（x）和g（x）的单调性，进而利用函数的单调性证明原式．

解答：（1）解：数列{

1

an

}为等差数列．
理由如下：
∵对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

，
∴

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

=

1-an

1- a 2 n

=

1

1+an

．
∴

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1．
∴数列{

1

an

}是首项为

1

a1

，公差为1的等差数列．
（2）证明：∵a_n+b_n=1，a₁=

1

2

∴a₁=b₁=

1

2

．
由（1）知

1

an

=2+(n-1)=n+1．
∴an=

1

n+1

，bn=1-an=

n

n+1

．
所证不等式（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1，即(1+

1

n+1

)n+1•(

n

n+1

)n＞1，
也即证明(1+

1

n+1

)n+1＞(1+

1

n

)n．
令f(x)=

lnx

x-1

(x＞1)，
则f′(x)=

x-1 x -lnx

(x-1)2

．
再令g(x)=

x-1

x

-lnx，
则g′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

．
当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即

x-1

x

-lnx＜0．
∴当x＞1时，f′(x)=

x-1 x -lnx

(x-1)2

＜0．
∴函数f(x)=

lnx

x-1

在（1，+∞）上单调递减．
∵1＜1+

1

n+1

＜1+

1

n

，
∴f(1+

1

n+1

)＞f(1+

1

n

)．
∴

ln(1+ 1 n+1 )

1+ 1 n+1 -1

＞

ln(1+ 1 n )

1+ 1 n -1

．
∴ln(1+

1

n+1

)n+1＞ln(1+

1

n

)n．
∴(1+

1

n+1

)n+1＞(1+

1

n

)n．
∴（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1成立．

点评：本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识