Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1．

（I）证明PA⊥平面ABCD；

（II）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证明  因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

       由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB．

       同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ） 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

  取PE的中点M，连结FM，则FM//CE． ①

由   知E是MD的中点．

连结FD，设FDEC=N，则N为FD的中点．

连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点．

所以  BF//ON． ②

又  BF平面BFM，BF平面AEC,所以BF//平面AEC．