Question

10．已知球的直径为20，当它的内接正四棱锥体积最大时，该四棱锥的高为$\frac{40}{3}$．

Answer 1

分析 先设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x，从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可

解答 解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：x²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=100
而正四棱锥的高为h=10+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}$（200-2x²）（10+x）=$\frac{2}{3}$（100-x²）（10+x）=$\frac{1}{3}$（20-2x）（10+x）（10+x）
≤$\frac{1}{3}$×（$\frac{20-2x+10+x+10+x}{3}$）³=$\frac{64000}{81}$
当且仅当x=$\frac{10}{3}$时，等号成立
那么正四棱锥的高为h=$\frac{40}{3}$．
故答案为：$\frac{40}{3}$．

点评 本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．