Question

（1）已知函数f（x）是一次函数，若3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求函数f（x）的解析式
（2）求函数f(x)=x-3

x-1

的值域．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=kx+b，k≠0，然后利用待定系数求k，b．
（2）设t=

x-1

，利用换元法将函数转化为关于t的二次函数形式，利用二次函数的图象和性质求值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）是一次函数，∴设f（x）=kx+b，k≠0，
则由3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17得
3[k（x+1）+b]-2[k（x-1）+b]=2x+17，
即kx+5k+b=2x+17，
∴

k=2 5k+b=17

，解得

k=2 b=7

，
∴f（x）=2x+7．
（2）函数的定义域为[1，+∞），设t=

x-1

，则t≥0．
则x=t²+1，
∴函数f(x)=x-3

x-1

等价为g（t）=t2+1-3t=(t-

3

2

)2-

5

4

，对称轴为t=

3

2

．
∵t≥0．
∴g（t）≥-

5

4

，即函数f(x)=x-3

x-1

的值域为[-

5

4

，+∞）．

点评：本题主要考查利用待定系数法求一次函数的解析式，以及利用换元法求函数的值域问题，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键．