Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义，k=f′（1）求解即可；
（2）要求f（m）+f′（n）的最小值，只需求f（m）和f′（n）的最小值，从而转化为求f（x）在[-1，1]上的最小值和f′（x）在[-1，1]上的最小值，按求函数最值的步骤求解即可．
（3）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求导，然后分a＞0和a≤0两种情况分别讨论f（x）在（0，+∞）上的最大值情况即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=-3x²+2ax（1分），
由已知f′(x)=tan

π

4

=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³+2x²-4（4分），
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-

4

3

)（5分），
x∈[-1，1]时，如下表：
（7分）
可见，n∈[-1，1]时，f′（x）最小值为f′（-1）=-7，
m∈[-1，1]时，f（m）最小值为f（0）=-4，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11（10分）；

（Ⅲ）∵f′(x)=-3x(x-

2a

3

)，
（1）若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单减，
又由f（0）=-4，则x＞0时f（x）＜-4，
∴当x≤0时，不存在x₀＞0使f（x₀）＞0（11分）；
（2）若a＞0时，
当0＜x＜

2a

3

时，f′(x)＞0．当x＞

2a

3

时，f′(x)＜0，
∴f（x）在(0，

2a

3

]上单增，在[

2a

3

，+∞)单减；
∴x∈（0，+∞）时，f(x)max=f(

2a

3

)=

4a3

27

-4（12分），
由已知，必须

4a3

27

-4＞0∴a3＞27，
∴a＞3，
即a＞3时，存在x₀∈（0，+∞）使f（x₀）＞0．

点评：本题考查了导数的运算，导数的几何意义，利用导数求函数的最值等知识点，涉及了分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．