Question

（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4， 是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

（I）当时，求证：；

（II）设二面角的大小为，求的最小值．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：过E作于N，连结EF．

（I）如图1，连结NF、，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面．

又底面侧面=AC，且底面ABC，所以侧面，

∴NF为EF在侧面内的射影，

在中，=1，则由，得NF//，

又故，由三垂线定理知

（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME，由（I）知侧面，

根据三垂线定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．

设，在中，

在 故

又，故当即当时，达到最小值，

，此时F与重合．

解法二：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

于是

故

（II）设平面AEF的一个法向量为，

则由（I）得，

于是由可得

                        取

                        又由直三棱柱的性质可取侧面

                        的一个法向量为，

于是由为锐角可得，∴，

由，得，即

故当，即点F与点重合时，取得最小值

 

【解析】略