Question

如图已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

（1）求抛物线方程；

（2）求M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

Answer 1

解：(1)抛物线y²=2px的准线为x=-,于是,4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y²=4x,?

(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).?

又∵F(1,0),∴K_FA=,又MN⊥FA,∴K_MN=-,?

则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得

∴N(,).?

(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2,?

当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,?

当m≠4时,直线AK的方程为y=(x-m),?

即为4x-(4-m)y-4m=0,?

圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d＞2,?

解得m＞1.∴当m＞1时,直线AK与圆M相离;?

当m=1时,直线AK与圆M相切;?

当m＜1时,直线AK与圆M相交.