Question

已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PC长为2，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点。

   （Ⅰ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；

   （Ⅱ）求点C到平面PDB的距离；

   （Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

证明：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE                      …………1分

连结AC，由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC ………3分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE                    ………………5分

解：（Ⅱ）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.                      ………………7分

设点C到平面PDB的距离为d，

，    

 ,  , 

---------------------------10分

(Ⅲ) 解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG

∵CD=CB,EC=EC, ∴≌

∴ED=EB, ∵AD=AB  ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴为二面角D－EA－B的平面角 ……………… 12分

∵BC⊥DE,   AD∥BC  ∴AD⊥DE

在Rｔ△ADE中，==BG

在△DGB中，由余弦定理得

∴=                                ………………15分

解法２：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：

则,从而………………  11分

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

由法向量的性质可得：，

令，则，

∴                        ………13分

设二面角D－AE－B的平面角为，则

∴                             …………………………………  15分