Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)在x=1和x=3处的切线互相平行，则实数a=

 

．

Answer 1

分析：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，因为曲线在x=1和x=3处的切线互相平行，得到切线的斜率相等，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：由f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，
得到f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

，
因为曲线在x=1和x=3处的切线互相平行，
所以f′（1）=f′（3），即a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+

2

3

，解得a=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线平行时斜率的关系，是一道基础题．