Question

已知函数f（x）=，且f（2）=-7．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若方程f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得f（2）=-7，把x=2代入f（x）得
=-7，解得a=3，
（2）由（1）得，且函数的定义域为{x|x≠0}，
又f（-x）==-f（x），所以函数f（x）奇函数，
（3）由题意得“f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解”转化为“m=-f（x）在x∈[1，4]上有解”，
设，g（x）在[1，4]上递增，
则m的范围是g（x）的值域，即 ．
分析：（1）由题意把x=2代入f（x）列出方程，求解即可；
（2）由（1）得求出f（x）的解析式，再求出函数的定义域，再求出f（-x）判断与f（x）的关系，即可得答案；
（3）将条件转化为“m=-f（x）在x∈[1，4]上有解”，再判断函数的单调性，求出值域，即可得到m的范围．
点评：本题考查了函数的奇偶性判断，方程的解转化为求函数的值域问题，属于中档题．