题目内容

二次函数f(x)=ax2+x+1(a＞0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x1、x2。

（1）证明：(1+x1)(1+x2)=1；www.zxxk.com

（2）证明：x1＜－1，x2＜－1；

（3）若函数y=xf(x)在区间（－，－4）上单调递增，试求a的取值范围。

（1）见解析（2）见解析（3）


解析:

（1）由题意知x1，x2是一元二次方和ax2+x+1=0的两个实根，所以x1+x2=－，x1x2=

x1+x2=－x1x2，所以（1+x1）（1+x2）=1

（2）由方程ax2+x+1=0(a＞0)的判别式=1－4a＞0，解得0＜a＜.

所以y=ax2+x+1=0(a＞0)的图象的对称轴

x=－，且f(－1)=a＞0 www.zxxk.com

所以二次函数y=ax2+x+1(a＞0)的图象与x轴两个交点都在－1点的左侧，

即x1＜－1，x2＜－1

（3）设g(x)=xf(x)=ax3+x2+x(0＜a＜)，www.zxxk.com

∴g’(x)=3ax2+2x+1＞0对x(－，－4)恒成立，

∴3a＞=－()2+1

又当x（－，－4）时，－()2+1＜ www.zxxk.com

∴a≥，∴ www.zxxk.com

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
1
8
)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
2
)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)
若二次函数f(x)=a
x
2
 
+bx+c(a≠0)的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则必存存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；
④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；
⑤函数g(x)=a
x
2
 
-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论是
①②④⑤
①②④⑤
（写出所有正确结论的编号）．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数y=f(x)+
2
3
x-1的图象过原点且关于y轴对称，记函数 h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）当a=
1
10
时，求函数y=h(x)的单调递减区间；
（Ⅲ）试讨论函数 y=h（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．
已知二次函数f(x)=
-x2-x+2
的定义域为A，若对任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，则实数k的最小值为
3
3
．

已知二次函数f(x)=a  +2ax+1在[-3,2]上有最大值5，则实数a的值为____________

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