Question

【题目】设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x0，y0），∴ ①

∵椭圆 的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）

∴ ，

∵直线AP与BP的斜率之积为 ，∴

代入①并整理得

∵y0≠0，∴a2=2b2

∴

∴

∴椭圆的离心率为 ；

（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴

∵a＞b＞0，kx0≠0，∴

∴ ②

∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），

∴

∴

∴

代入②得

∴k2＞3

∴直线OP的斜率k满足|k|＞

【解析】（1）设P（x0 ， y0），则 ，利用直线AP与BP的斜率之积为 ，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0 ， kx0），则 ，进一步可得 ，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得 ，从而可求直线OP的斜率的范围．