题目内容

如图，双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=______．
（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为
|bc|
b2+c2

∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
∴
|bc|
b2+c2
=a
∴（c2-a2）c2=（2c2-a2）a2
∴c4-3a2c2+a4=0
∴e4-3e2+1=0
∵e＞1
∴e=
5
+1
2

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc
设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴
m
n
=
c
b

∵m2+n2=a2，∴m=
ac
b2+c2
，n=
ab
b2+c2

∴面积S2=4mn=
4a2bc
b2+c2

∴
S1
S2
=
b2+c2
2a2
=
b2+c2
2bc

∵bc=a2=c2-b2
∴b=
-1+
5
2
c
∴
S1
S2
=
5
+2
2

故答案为：
5
+1
2
，
5
+2
2
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（
2
，0）且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：
OA
•
OB
=0．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，且离心率为
3
2
．
（1）若过F1的直线交椭圆E于P，Q两点，且
PF1
=3
F1Q
，求直线PQ的斜率；
（2）若椭圆E过点（0，1），且过F1作两条互相垂直的直线，它们分别交椭圆E于A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．
（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围．
过双曲线
x2
3
-
y2
6
=1的右焦点F，倾斜角为30°的直线交此双曲线于A，B两点，求|AB|．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为2+2
2
．记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0，
2
）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（
2
，0），N（0，1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量
OP
+
OQ
与
MN
共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=8x的焦点为F．椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=
1
2
，并以F为一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）设A1A2是椭圆Σ的长轴（A1在A2的左侧），P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A1，求证：tan∠A1PA2=
2
．
已知点P是圆F1：(x+
3
)2+y2=16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线与PF1交于M点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

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