Question

（2012•门头沟区一模）已知等差数列{a_n}中，a₂+a₄=10，a₅=9，数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n+1=b_n+a_n．
（ I）求数列{a_n}的通项公式，写出它的前n项和S_n；
（ II）求数列{b_n}的通项公式；
（ III）若cn=

2

an•an+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（ I）由等差数列的通项公式，结合条件求出首项和公差，可得数列{a_n}的通项公式及它的前n项和S_n ．
（ II）由b₁=a₁，b_n+1=b_n+a_n，求出数列{b_n}的通项公式．
（ III）化简cn=

2

an•an+1

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此利用裂项法对数列{c_n}求其前n项和．

解答：解：（ I）设a_n=a₁+（n-1）d，由题意得2a₁+4d=10，a₁+4d=9，a₁=1，d=2，
所以a_n=2n-1，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=n2．…（4分）
（ II）b₁=a₁=1，b_n+1=b_n+a_n=b_n+2n-1，
所以b₂=b₁+1，b₃=b₂+3=b₁+1+3，…
bn=b1+1+2+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2（n≥2），
又n=1时n²-2n+2=1=a₁，
所以数列{b_n}的通项bn=n2-2n+2；…（9分）
（ III）cn=

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴Tn=c1+c2+…+cn=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

． …（14分）

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式的应用，用裂项法进行数列求和，属于中档题．