Question

17．函数f（x）=b（1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）+$\frac{a•（{4}^{x}-1）}{{2}^{x}}$+3（a、b为常数），若f（x）在（0，+∞）上有最大值11，则f（x）在（-∞，0）上有（　　）

• A． 最大值10
• B． 最小值-5
• C． 最小值-4
• D． 最大值5

Answer 1

分析 设g（x）=b（1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）+$\frac{a•（{4}^{x}-1）}{{2}^{x}}$，判断奇偶性，可得g（x）的最值之和为0，由题意可得g（x）在（0，+∞）上有最大值8，最小值-8，进而得到所求最小值-5．

解答 解：设g（x）=b（1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）+$\frac{a•（{4}^{x}-1）}{{2}^{x}}$
=b•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$+a（2^x-2^-x），
由g（-x）=b•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$+a（2^-x-2^x）
=b•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+a（2^-x-2^x）=-g（x），
可得g（x）为奇函数，
由f（x）=g（x）+3，f（x）在（0，+∞）上有最大值11，
可得g（x）在（0，+∞）上有最大值11-3=8；
则g（x）在（-∞，0）上有最小值-8，
即有f（x）在（-∞，0）上有最小值为-8+3=-5．
故选B．

点评 本题考查奇函数的性质，考查函数的最值的求法，注意运用构造函数法．考查运算能力，属于中档题．