Question

设函数f（x）=x²-lnx，其中a为大于零的常数。
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）>2恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）当a=1时，
令f'（x）>0得x>1，
令f'（x）<0得0＜x＜1，
故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）
从而f（x）在（0，+∞）上的极小值为
f（x）无极大值。
（2）
f（x）>2在[1，2]上恒成立f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min>2
∵a>0
∴令f'（x）=0得
①当时，即0＜a≤1时，函数f（x）在[1，2]上递增，
f（x）的最小值为
解得；
②当时，即时，函数f（x）在[1，2]上递减，
f（x）的最小值为，无解
③当时，即1＜a＜4时，函数f（x）在上递减，在上递增，
所以f（x）的最小值为2，无解
综上，所求a的取值范围为。