Question

下列命题：
①若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′(

π

12

)=0；
②若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g'（2013）=2012!；
③若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
④函数f(x)=

sinx

2+cosx

的单调递增区间是(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)．
其中真命题为

②④

．（填序号）

Answer 1

分析：①对函数整理后求导，将

π

12

代入导函数解析式即可；
②利用乘积的求导法则对函数整理后求导，将2013代入导函数解析式即可；
③f（x）为三次函数，“f（x）有极值点”的充要条件是导函数有两个不相等的零点，考虑其△即可；
④求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的增区间

解答：解：①由于函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos²x-sin²x=cos2x，则h′（x）=-2sin2x
则h′(

π

12

)=-2sin2×

π

12

=-1，故①为假命题；
②由于函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
则g'（x）=[（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013）][（x-1）（x-3）…（x-2012）（x-2013）]…[（x-1）（x-2）…（x-2011）（x-2012）]
故g'（2013）=2012•2011•2010…2•1=2012!，故②为真命题；
③f′（x）=3ax²+2bx+c，f（x）有极值点?f′（x）=0有两个不等实根?△=4b²-12ac＞0，故命题③为假命题；
④由于函数f(x)=

sinx

2+cosx

，则导函数f′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

令f′（x）＞0，则2cosx+1＞0，解得2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

 (k∈Z)
故f（x）的增区间是(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)，故④为真命题．
故答案为②④

点评：本题考查导数知识的运用，主要考查函数的单调性，及函数的求导法则，正确求导，考查计算能力．