Question

已知长方形ABCD，AB=，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．椭圆Γ以A、B为焦点，且过C、D两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l交椭圆Γ于M，N两点，是否存在直线l，使得OM⊥ON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂，进而根据OM⊥ON，推断则，得知x₁x₂+y₁y₂=0，根据x₁x₂求得y₁y₂代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．
解答：解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为（-，0），（，0），（，1）
设椭圆的标准方程是．
则2a=AC+BC，
即2a=，所以a=2．
所以b²=a²-c²=4-2=2．
所以椭圆的标准方程是．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．
由得（1+2k²）x²+8kx+4=0．
因为M，N在椭圆上，
所以△=64k²-16（1+2k²）＞0．
设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=，x₁x₂=，
由于OM⊥ON，则，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
所以，即，
得k²=2，
经验证，此时△=48＞0．
所以直线l的方程为，或．
即所求直线存在，其方程为．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系．在设直线方程时一定要看斜率的存在情况，最后还要检验斜率k是否符合题意．