Question

（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，M是CC₁的中点．求证：AB₁⊥A₁M．

Answer 1

分析：要证，只要A₁M⊥AC₁，B₁C₁⊥AC₁ 即证MA₁⊥AB₁C₁，从而可证AB₁⊥A₁M

解答：证明：连接AC₁
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=

6

，
∴A1M=

3+( 6 2 )2

=

3 3

2

Rt△A₁C₁M中，tan∠A₁MC₁=

A1C1

MC1

=

3

6 2

=

2

Rt△AA₁C₁中，tan∠AC₁A₁=

AA1

A1C1

=

6

3

=

2

∴tan∠MA₁C₁=tan∠AC₁A₁ 即∠AC₁A₁=∠A₁MC₁     
∴A₁M⊥AC₁
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁且AC₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁且MA₁?面AA₁C₁
∴B₁C₁⊥MA₁，又AC₁∩B₁C₁是=C₁
根据线面垂直的判定定理可知MA₁⊥平面AB₁C₁
∴AB₁⊥A₁M

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题