Question

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

（I）求a₂，a₃；
（II）设bn=a2n-2，n∈N*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前20项中所有奇数项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用数列的递推公式，分别令n=1，2依次计算可求得a₂，a₃
（II）利用等比数列的定义证出

bn+1

bn

是一个与n无关的常数即可．
（Ⅲ）根据数列的递推公式，先将数列{a_n}前20项中所有奇数项转化为偶数项，再结合相关的求和方法计算．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，得a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

，令n=2，得a₃=a₂-4=-

5

2

．
（II）b₁=a₂-2=-

1

2

，且

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1+(2n+1)-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-2×2n)+2n-1

a2n-2

=

1

2

，是一个与n无关的常数．
 所以数列{b_n}是等比数列，其通项公式b_n=-(

1

2

)n
（Ⅲ）由（II）可得a_2n=2+b_n．
数列{a_n}前20项中所有奇数项的和S=a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=a₁+

1

2

(a2-2×1)+

1

2

(a4-2×2)+…+

1

2

(a18-2×18)=1-（1+2+4+…18）+

1

2

（a₂+a₄+…a₁₈）
=-90+

1

2

（2+b₁+2+b₂+…2+b₉）=-90+

1

2

（18+

- 1 2 (1- 1 29 )

1- 1 2

）=-90+9-

1

2

+

1

210

=

1

210

-

163

2

点评：本题考查数列的递推公式，等比数列的判定，数列求和．考查逻辑思维、转化、计算论证能力．