Question

直线l过点P（-2，1）且斜率为k（k＞1），将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点．
（1）用k表示直线m的斜率；
（2）当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）用点斜式求出m和l的方程，利用直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m求出直线m的倾斜角为α+45°；进而得到直线m的斜率；
（2）求出R，Q两点的坐标，计算△PQR 的面积，变形后应用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α+45°，
km=tan(45°+α)=

1+tanα

1-tanα

=

1+k

1-k

，
∴直线l的方程为y-1=k（x+2），
（2）直线m的方程为y-1=

1+k

1-k

(x+2)
令x=0，得yQ=2k+1，yR=

3+k

1-k

，
∴S△PQR=

1

2

|yQ-yR|•|xP|=|

2(k2+1)

k-1

|
∵k＞1，
∴S△PQR=|

2(k2+1)

k-1

|=2•

k2+1

k-1

=2[(k-1)+

2

k-1

+2]≥4(

2

+1)
由k-1=

2

k-1

得k=

2

+1(k=1-

2

舍去），
∴当k=

2

+1时，
△PQR的面积最小，最小值为4(

2

+1)，
此时直线l的方程是(

2

+1)x-y+2

2

+3=0．

点评：本题考查一条直线到另一直线的角的定义，直线的点斜式方程，求两直线的交点坐标以及基本不等式的应用．把三角形的面积表达式变形后应用基本不等式是本题的难点和关键．