Question

已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，
（1）求椭圆的离心率；　
（2）求此双曲线方程．

Answer 1

解：（1）椭圆的a₁=5，b₁=3，
∴c==4，
得出椭圆的离心率e=．
（2）∵椭圆的焦点坐标为（-4，0）和（4，0），
则可设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
∵c=4，又双曲线的离心率等于2，即=2，
∴a=2．
∴b²=c²-a²=12；
故所求双曲线方程为．
分析：（1）由椭圆的性质，可得椭圆的a₁=5，b₁=3，根据c=求出c，即可得出椭圆的离心率，
（2）由椭圆的性质，可得椭圆的焦点坐标，设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则可得c=4，又由双曲线的离心率可得a的值，进而可得b，将a、b的值代入双曲线方程可得答案．
点评：本题考查双曲线的标准方程以及椭圆的简单几何性质，注意区分并记忆椭圆、双曲线的几何性质及标准方程的形式．