Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，CD是△ABC的AB边上的高，DE⊥AC于E、F为BC上一点，连接EF交CD于G．∠CFE-∠EDC．
（1）证明：A、B、F、E四点共圆；
（2）若∠ACB=90°，CE=4，EA=16，BF=2，求A、B、F、E所在圆的半径．

Answer 1

分析：（1）证明∠EDG=∠A，利用∠CFE=∠EDC，可得∠CFE=∠A，从而可得A、B、F、E四点共圆；
（2）设A、B、F、E所在圆的圆心为O，半径为R，P为AE的中点，Q为BF的中点，则OP⊥AC，OQ⊥BF，从而可得四边形OQCP是矩形，OQ=12，由此可求A、B、F、E所在圆的半径．

解答：（1）证明：∵CD是△ABC的AB边上的高，∴∠EDG+∠EDA=90°
∵DE⊥AC，∴∠A+∠EDA=90°
∴∠EDG=∠A
∵∠CFE=∠EDC
∴∠CFE=∠A
∴A、B、F、E四点共圆；
（2）设A、B、F、E所在圆的圆心为O，半径为R，P为AE的中点，Q为BF的中点，
则OP⊥AC，OQ⊥BF
∵∠ACB=90°，∴四边形OQCP是矩形，即OQ=12
∴R=OB=

OQ2+QB2

=

145

∴A、B、F、E所在圆的半径为

145

．

点评：本题考查四点共圆，考查学生的计算能力，正确运用四点共圆的判定方法是关键．