Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），当x∈[0，2]时，f（x）=x（e^x-e^-x），则f（-3），f（2），f（2.5）的大小关系是（　　）

A．f（-3）＜f（2）＜f（2.5）

B．f（2.5）＜f（-3）＜f（2）

C．f（2）＜f（-3）＜f（2.5）

D．f（2）＜f（2.5）＜f（-3）

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），我们求出函数的周期，再由当x∈[0，2]时，f（x）=x（e^x-e^-x），我们可以判断出区间[0，2]上函数的单调性，将f（-3），f（2），f（2.5）利用周期性转化同一单调区间上的三个函数值，即可比较大小．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），
则2为函数的一个周期，
又∵当x∈[0，2]时，f（x）=x（e^x-e^-x），
∴函数在区间[0，2]上单调递增
则f（-3）=f（1）
f（2.5）=f（0.5）
故f（2.5）＜f（-3）＜f（2）
故选B

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，指数函数的单调性，其中根据已知条件判断出函数的周期及区间[0，2]上函数的单调性，是解答本题的关键．