Question

已知函数f（x）=

1

2

ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（Ⅱ） 由题意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根据x大于等于0小于等于1，根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最大值，再根据（Ⅰ）求出的f（x）的单调区间，根据f（x）的增减性即可求出f（x）的最大值，进而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f/(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

(x-2)(ax-1)

x

当a=0时，单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞）；
当0＜a＜

1

2

时，单调减区间为（2，

1

a

），单调增区间为（0，2），（

1

a

，+∞)；
当a=

1

2

时，单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，单调增区间为 （0，2），单调减区间为 （2，+∞）
或a＞

1

2

时，单调增区间为（0，

1

a

），（2，+∞）；单调减区间为(

1

a

，2)；
（Ⅱ） 由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
由（Ⅰ）知当a=0时，成立；
当a＞0时，f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，∴a＞-1+ln2；
故a的取值范围是a=0或a＞-1+ln2．

点评：本题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，