Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2，E，F分别是BC、AA₁的中点．
求：（1）异面直线EF和A₁B所成的角．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

解：（1）方法一：取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其补角）即为所求．…（3分）

由题意易知，，DE=1，
由DE⊥AB、DE⊥A A₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，…（3分）
∴
∴∠DFE=30°…（3分）
即异面直线EF和A₁B所成的角为30⁰． …（1分）
方法二：


以A为坐标原点以AB、AC、AA₁所在直线分别x轴、y轴、
Z轴建立如图所示的直角坐标系，…（1分）
则A₁ （o，o，2） B （2，0，0）
∵E、F分别是BC、AA₁中点
∴E（1，1，0）F（0，0，） …（4分）
∴，
设的夹角为θ
∴cosθ=
∵0≤θ≤π
∴…（4分）
∴异面直线EF和A₁B所成的角为…（1分）
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积
…（4分）
分析：（1）方法一：取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A₁B，∠DFE（或其补角）即为所求由此能求出异面直线EF和A₁B所成的角的大小．
方法二：以A为坐标原点以AB、AC、AA₁所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系，用向量法求异面直线EF和A₁B所成的角的大小．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．
点评：本题考查两条异面直线所成角的大小的求法和直直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的计算，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．