Question

如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S₁，种花的面积为S₂，比值

S1

S2

称为“规划和谐度”．
（I）试用a，θ表示S₁，S₂；
（II）若a为定值，BC＞AB．当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析：（I）求出△ABD的面积为，设正方形BEFG的边长为t，利用三角形的相似求出S₂，然后求出S₁
（II）由（I）

S1

S2

，通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ=

π

4

时，

S1

S2

有最小值1．

解答：解：（I）∵BD=atanθ，
∴△ABD的面积为

1

2

a2tanθ(θ∈(0，

π

2

））…（2分）
设正方形BEFG的边长为t，
则由

FG

AB

=

DG

DB

，得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

，解得t=

atanθ

1+tanθ

，…（4分）
∴S₂=

a2tan2θ

(1+tanθ)2

，
∴S₁=

1

2

a2tanθ-S2=

1

2

a2tanθ-

a2tan2θ

(1+tanθ)2

．…（6分）
（II）由（I）

S1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1，…（8分）
∵tanθ∈（0，+∞），
∴

S1

S2

=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

+2)-1=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

）≥1，…（10分）
当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ=

π

4

．
∴当θ=

π

4

时，

S1

S2

有最小值1．…（12分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，基本不等式的应用，考查计算能力．