Question

【题目】已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（2）当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．

Answer 1

【答案】
（1）

由椭圆E的方程： =1知，其左顶点A（﹣2，0），

∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，

∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），

∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a= 或a=0（舍），

∴S△AMN= a×2a=a2=

（2）

设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣ （x+2），由 消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣ ，∴xM=2﹣ = ，

∴|AM|= |xM﹣（﹣2）|= =

∵k＞0，

∴|AN|= = ，

又∵2|AM|=|AN|，∴ = ，

整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0，

设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，

则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0，

∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，

又f（ ）=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ ＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，

∴ ＜k＜2．

【解析】（1）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a= ，从而可求△AMN的面积；（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣ （x+2），联立 消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|= |xM﹣（﹣2）|= ，|AN|= = ， 结合2|AM|=|AN|，可得 = ，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．；本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．