Question

已知数列{a_n}满足an=an-1+

1

n2

a2n-1(n∈N*)．
（1）若数列{a_n}是以常数a₁首项，公差也为a₁的等差数列，求a₁的值；
（2）若a0=

1

2

，求证：

1

an-1

-

1

an

＜

1

n2

对任意n∈N^*都成立；
（3）若a0=

1

2

，求证：

n+1

n+2

＜an＜n对任意n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）由an=an-1+

1

n2

a2n-1(n∈N*)得：a1=

1

n2

[a1+(n-2)a1]2，从而可求的求得a₁=0；
（2）由a_n＞a_n-1＞0知an＜an-1+

1

n2

anan-1，两边同除以a_na_n-1，可得结论
（3）由（2）可知

1

a0

-

1

an

=(

1

a0

-

1

a1

)+(

1

a1

-

1

a2

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)＜1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，再进行放缩
可证得结论．

解答：解：（1）由an=an-1+

1

n2

a2n-1(n∈N*)得：a1=

1

n2

[a1+(n-2)a1]2
即a1=(

n-1

n2

)2a12，求得a₁=0…5分
（2）由a_n＞a_n-1＞0知an＜an-1+

1

n2

anan-1，
两边同除以a_na_n-1，得

1

an-1

-

1

an

＜

1

n2

…10分
（3）

1

a0

-

1

an

=(

1

a0

-

1

a1

)+(

1

a1

-

1

a2

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)＜1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

(n-1)

-

1

n

)=2-

1

n

，将a0=

1

2

代入，得a_n＜n；㈠…12分∵a_n-1＜n-1∴an=an-1+

1

n2

a2n-1＜an-1+

n-1

n2

an-1an-1＞

n2

n2+n-1

anan＞an-1+

1

n2

an-1•

n2

n2+n-1

an

1

an-1

-

1

an

＞

1

n2+n-1

＞

1

n

-

1

n+1

1

a1

-

1

an

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)＞(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

而a1=

3

4

，∴

1

an

＜

5

6

+

1

n+1

＜

n+2

n+1

∴an＞

n+1

n+2

㈡
由㈠㈡知，命题成立．…14分．

点评：本题以数列为载体，考查数列递推式，考查数列与不等式的结合，考查放缩法，难度较大．