Question

(本小题满分13分)

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，若函数与轴有两个交点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：曲线上任意一点的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求出此定值.

Answer 1

解：（Ⅰ），由，即，

解得或，由于，所以，则．    (4分)

(Ⅱ)由(1)得，知的定义域为，又

，由于，令，得，

当时，，知在时单调递减，

同理，知在时单调递增．　　　　　　　　　　　（６分）

所以，令，即时，函数有两个实数根，所以的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８分）

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点，由知过此点的切线方程为

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　（９分）

令得，即切线与直线的交点为，令，得，即切线与直线的交点为，又直线与直线的交点为，　（10分）

从而所围成的三角形面积为：，故所围成的三角形面积为定值．                   ( 13分)